Integral Trigonometri

Integral Trigonometri

Integral Trigonometri

Integral Trigonometri

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk menyelesaikan

Integral-integral yang memiliki bentuk
Bentuk Integral

Di mana m dan n adalah

Bilangan bulat positif. Untuk menemukan antiturunan dari bentuk-bentuk tersebut, pecahlah bentuk tersebut menjadi kombinasi dari integral trigonometri sedemikian sehingga kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.
Sebagai contoh, kita dapat menyelesaikan integral berikut dengan memisalkan u = sin x. Sehingga, du = cos x dx dan diperoleh,
Contoh
Untuk menyelesaikan integral-integral trigonometri, gunakan identitas-identitas berikut agar kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.
Identitas sin-cos

Panduan untuk Menyelesaikan Integral yang Memuat Perpangkatan Sinus dan Cosinus

  1. Jika pangkat dari sinus adalah bilangan ganjil dan positif, simpan satu faktor sinus tersebut dan ubahlah faktor sisanya menjadi cosinus. Kemudian, ekspansi dan integralkan.
    Panduan sin-cos 1
  2. Jika pangkat dari cosinus adalah bilangan ganjil dan positif, simpan satu faktor cosinus tersebut dan ubahlah faktor sisanya menjadi sinus. Kemudian, ekspansi dan integralkan.
    Panduan sin-cos 2
  3. Jika pangkat dari sinus dan cosinus keduanya genap dan tidak negatif, gunakan secara berulang identitas berikut,
    Panduan sin-cos 3
    untuk mengubah integran menjadi perpangkatan ganjil dari cosinus. Kemudian lanjutkan sesuai panduan nomor 2.

Contoh 1: Pangkat dari Sinus Ganjil dan Positif

Tentukan,
Contoh 1
Pembahasan Karena kita berharap untuk menggunakan Aturan Perpangkatan dengan u= cos x, maka simpan satu faktor sinus untuk membentuk du dan ubah faktor-faktor sinus sisanya menjadi cosinus.
Contoh 1 Pembahasan
Pada Contoh 1 di atas, pangkat m dan n keduanya merupakan bilangan bulat positif. Bagaimanapun, teknik yang sama dapat digunakan selama salah satu dari m atau nmerupakan bilangan ganjil dan positif. Sebagai contoh, pada contoh selanjutnya pangkat dari cosinusnya 3, sedangkan pangkat dari sinusnya –1/2.
Contoh 2: Pangkat dari Cosinus Ganjil dan Positif
Tentukan,
Contoh 2
Pembahasan Karena kita akan menggunakan Aturan Perpangkatan dengan u = sin x, maka simpan satu faktor cosinus untuk membentuk du dan ubah faktor-faktor cosinus sisanya menjadi sinus.
Contoh 2 Pembahasan
Gambar di bawah ini menunjukkan daerah yang luasnya direpresentasikan oleh integral tersebut.